Méthode de calcul d'une racine carrée à la main

Considérons tout d'abord le calcul suivant

(^2 correspond à l'élévation au carré)

(a+b+c)^2
(a+b+c)*(a+b+c)
a^2+2a*b+2(a+b)*c+b^2+c^2

si on pose x=(a+b+c)^2
alors racine de x=a+b+c

recherchons a b et c
a va être choisi simplement comme étant une racine estimée de x
pour cela on va séparer a en groupes de deux chiffres et prendre la racine du nombre le plus à gauche et lui ajouter un 0 par tranche de deux chiffres :
1742 -->17 42 --> 40 on prend 4 car 4*4=16 a=40

la différence entre a^2 et x^2 est de :
2a*b+2(a+b)*c+b^2+c^2
dans notre cas 1742-40^2=1742-1600=142

divisons ce reste par 2a.
le résultat de la division va être b et le reste
2(a+b)*c+b^2+c^2
dans notre cas 2a=80 -->142/80=1.5 reste 22

soustrayons du reste b^2
la nouvelle valeur restante est :
2(a+b)*c+c^2
dans notre cas 22-1.5*1.5=19.75

En divisant par 2(a+b) on obtient c et l'erreur est c^2
dans notre cas 19.75/83=0.238

la racine trouvée est de 41.738 au lieu de 41.7373
ce qui nous donne une erreur inférieure à 1 pour mille.
L'erreur est fonction du dernier paramètre c.
c est obtenu par division du reste par 2(a+b).
pour minimiser l'erreur il suffit que a et b estiment du mieux possible la racine.

rappel de la méthode

Il y a en fait seulement deux soustractions, deux divisions et une addition pour une estimation généralement à moins de un pour mille près (ici 7 pour un million).