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Courbes fractales |
Why is geometry often described as ‘cold’ and ‘dry’? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastline, or a tree. Clouds are not spheres, coastlines are not circles, and bark is not a smooth, nor does lightning travel in a straight line[…] The existence of these patterns challenges us to study those forms that Euclid leaves aside as being ‘formless’, to investigate the morphology of the ‘amorphous’.
Benoît B. Mandelbrot
Benoît Mandelbrot est mort le 14 octobre 2010 à Cambridge, dans le Massachusetts1. Il a travaillé, au début de sa carrière, sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé ensuite une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales. Il recherchait une façon de réconcilier ce que voyait l'oeil avec les mathématiques.
Ancien élève de l'école polytechnique, vous pouvez voir une conférence qu'il a donné en français à paris : L'anneau fractal de l'art à l'art à travers la géométrie, la finance et les sciences.
Ici les courbes sont créées avec une partie du langage type L-système. L pour Aristid Lindenmayer (1925-1989), biologiste hongrois qui a inventé ce langage en 1968.
Il s'agit d'un langage de tortue graphique comme sur les TO8 d'il y a longtemps. Ici une courbe est déterminée avec un alphabet très simples dont les codes utilisés sont :
L'angle alpha est choisi en fonction de la courbe à représenter. On pourra le faire varier pour une même courbe pour voir ses effets.
Certains points sont remarqués et appelés x, X, y et Y. Ces caractères n'ont pas d'influence sur le mouvement de la tortue.
Dans ce langage une courbe fractale se construit à partir d'une courbe de départ appelé axiome.
A chaque étape on remplace une partie de la courbe de l'étape n-1 par une par une courbe en suivant des règles.
Les paramètres de la courbe ci dessus :
alpha = pi/3
axiome = F
une seule règle : remplacer F par F+F--F+F
Pour avoir le flocon de von KOCH en entier remplacez l'axiome par : +F--F--F
vous avez aussi une courbe intéressante en prenant pour axiome : F++F++F
L'utilisation d'excel pour faire des courbes fractales est une chose inattendue, cliquez ci-dessous pour télécharger le classeur correspondant. Pour un temps de chargement plus court le fichier est compressé. De plus toutes les formules ne sont pas écrites toujours dans un souci de compression.